"Cartório", aqui, não tem NENHUMA relação com as entidades não-personalizadas nas quais se notários e registradores públicos trabalham. Em contextos tais, "cartório" quer dizer ou "secretaria do juízo" ou "juízo" (no primeiro caso quando se está falando do local físico em que serviços judiciários são prestados, no segundo quando se trata da unidade judiciária).

A expressão "cartório privativo" indica que o referido juízo tem competência exclusiva para tratar de determinadas questões (de família, de falências e concordatas, criminais etc).

Como são os juízos - e não suas secretarias - que têm a competência para tratar de questões judiciais, não se podem dizer que a "secretaria (cartório) tem competência exclusiva". O juízo a tem. A melhor interpretação para a passagem citada indica que "juízo" e "cartório privativo" significam a mesma coisa; a duplicidade se deve simplesmente à verbosidade do profissional do direito que escreveu o excerto.