Матрица Тёплица
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к навигации
Перейти к поиску

Матрица Тёплица (диагонально-постоянная матрица) — матрица, в которой на всех диагоналях, параллельных главной, стоят равные элементы:

A = [ a 0 a − 1 a − 2 … … a − n + 1 a 1 a 0 a − 1 ⋱ ⋮ a 2 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ a − 1 a − 2 ⋮ ⋱ a 1 a 0 a − 1 a n − 1 … … a 2 a 1 a 0 ] {displaystyle A={begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&ldots &ldots &a_{-n+1}\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&ddots &&vdots \a_{2}&a_{1}&ddots &ddots &ddots &vdots \vdots &ddots &ddots &ddots &a_{-1}&a_{-2}\vdots &&ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\a_{n-1}&ldots &ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}end{bmatrix}}} {displaystyle A={begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&ldots &ldots &a_{-n+1}\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&ddots &&vdots \a_{2}&a_{1}&ddots &ddots &ddots &vdots \vdots &ddots &ddots &ddots &a_{-1}&a_{-2}\vdots &&ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\a_{n-1}&ldots &ldots &a_{2}&a_{1}&a_{0}end{bmatrix}}},

то есть выполняется соотношение:

a i , j = a i − 1 , j − 1 {displaystyle a_{i,,j}=a_{i-1,,j-1}} {displaystyle a_{i,,j}=a_{i-1,,j-1}}.

Названы в честь немецкого математика Отто Тёплица.

Две матрицы Тёплица можно сложить за Θ ( n ) {displaystyle Theta (n)} Theta (n) операций. Матрицу Теплица можно умножить на вектор за Θ ( n log ⁡ n ) {displaystyle Theta (nlog n)} {displaystyle Theta (nlog n)} операций, а умножение матриц Тёплица можно провести за Θ ( n 2 ) {displaystyle Theta (n^{2})} Theta (n^{2}) операций.

Тёплицева система линейных уравнений, то есть система вида A x = b {displaystyle Ax=b} Ax=b, где A {displaystyle A} A — тёплицева матрица, может быть решена методом Левинсона за время Θ ( n 2 ) {displaystyle Theta (n^{2})} Theta (n^{2})[1][2].

Матрицы Тёплица также связаны с рядами Фурье: оператор умножения на многочлен из синусов или косинусов, спроецированный на конечномерное пространство, можно представить такой матрицей.
https://ru.wikipedia.org/wiki/Матрица_Тёплица

--------------------------------------------------
Note added at 18 мин (2021-09-19 14:56:14 GMT)
--------------------------------------------------

Toeplitz matrix

In linear algebra, a Toeplitz matrix or diagonal-constant matrix, named after Otto Toeplitz, is a matrix in which each descending diagonal from left to right is constant. For instance, the following matrix is a Toeplitz matrix:

[ a b c d e f a b c d g f a b c h g f a b i h g f a ] . {displaystyle qquad {begin{bmatrix}a&b&c&d&e\f&a&b&c&d\g&f&a&b&c\h&g&f&a&b\i&h&g&f&aend{bmatrix}}.} {displaystyle qquad {begin{bmatrix}a&b&c&d&e\f&a&b&c&d\g&f&a&b&c\h&g&f&a&b\i&h&g&f&aend{bmatrix}}.}

Any n × n matrix A of the form

A = [ a 0 a − 1 a − 2 ⋯ ⋯ a − ( n − 1 ) a 1 a 0 a − 1 ⋱ ⋮ a 2 a 1 ⋱ ⋱ ⋱ ⋮ ⋮ ⋱ ⋱ ⋱ a − 1 a − 2 ⋮ ⋱ a 1 a 0 a − 1 a n − 1 ⋯ ⋯ a 2 a 1 a 0 ] {displaystyle A={begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&cdots &cdots &a_{-(n-1)}\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&ddots &&vdots \a_{2}&a_{1}&ddots &ddots &ddots &vdots \vdots &ddots &ddots &ddots &a_{-1}&a_{-2}\vdots &&ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\a_{n-1}&cdots &cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}end{bmatrix}}} {displaystyle A={begin{bmatrix}a_{0}&a_{-1}&a_{-2}&cdots &cdots &a_{-(n-1)}\a_{1}&a_{0}&a_{-1}&ddots &&vdots \a_{2}&a_{1}&ddots &ddots &ddots &vdots \vdots &ddots &ddots &ddots &a_{-1}&a_{-2}\vdots &&ddots &a_{1}&a_{0}&a_{-1}\a_{n-1}&cdots &cdots &a_{2}&a_{1}&a_{0}end{bmatrix}}}

is a Toeplitz matrix. If the i, j element of A is denoted Ai, j then we have

A i , j = A i + 1 , j + 1 = a i − j . {displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.} {displaystyle A_{i,j}=A_{i+1,j+1}=a_{i-j}.}

A Toeplitz matrix is not necessarily square.
https://en.wikipedia.org/wiki/Toeplitz_matrix