Meiner Meinung nach sind beide Begriffe ziemlich identisch. Der Unterschied liesse sich vielleicht so beschreiben, dass ein Standesamt eine konkrete Standesamtsbehörde an einem konkreten Ort ist und die Standesamtsbehörde eine standesamtliche Institution als Überbegriff bspw. auf einem Formular, wo offen bleibt, ob die standesamtlichen Aufgaben von einem Standesamt oder vielleicht auch von einer anders bezeichneten Behörde ausgeübt werden.