Streifen = patrouiller

gebiet = domaine, territoire.

Streifengebiet = le domaine où les ours patrouillent, c'est à dire comme l'indique Antoine, le domaine vital. Cependant, s'agissant d'une famille je dirais plutôt territoire, qui me semble plus approprié, domaine désignant d'avantage une région et s'adressant d'avantage à une population entière :p. ex le domaine vital de l'ours dans les Pyrénées.