En primer lugar, no es incorrecto "Yo no soy tampoco así". Cuando "tampoco" va antepuesto al verbo, no va seguido de "no"; no se puede decir *"Yo tampoco no soy así". Sin embargo, cuando va pospuesto al verbo, este sí va en negativo, con "no". Sería incorrecto *"Yo soy tampoco así"; hay que decir "Yo no soy tampoco así".
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Pues bien, como se sabe, "tampoco" se emplea para negar algo después de haberse negado otra cosa. Es decir, que significa "y no"; equivale a "nor/neither" en inglés o a "non plus" en francés. En este contexto, tal uso no tendría sentido, porque la persona que lo dice no ha negado nada anteriormente.

Sin embargo, "tampoco" tiene otro uso en español coloquial, que podríamos llamar "ponderativo". Es decir, que sirve para dar mayor énfasis a una afirmación negativa. Por ejemplo, podemos decir: "tampoco está mal", "tampoco es para tanto", etc. En este tipo de casos, no hay otra negación anterior. El uso de "tampoco" en vez de "no" sirve para subrayar la negación, como si dijéramos "a pesar de lo que se ha afirmado" o "a pesar de lo que se podría pensar". Implica, de alguna manera, que lo que se niega (explícita o implícitamente) es un poco extremo.

Cuando el segundo hablante dice "Yo no soy tampoco así", está dando a entender que considera el hecho de "ser así" como algo exagerado, algo un poco fuerte. Se entiende que le importa que quede claro que no es así.

No tenemos contexto que nos permita saber en qué consiste "ser así" en este caso. Imaginemos que el diálogo fuera:

"No soporto que me critiquen. Soy así."
"Yo no soy tampoco así".

No hay negación anterior. La segunda persona quiere decir que le parece un poco extremo lo que la primera ha dicho. A lo mejor no le resulta muy agradable que la critiquen, pero lo aguanta.