... wurde dieser Vertrag an dem eingangs angegebenen Datum (rechtsgültig) unterzeichnet.

Die vorgeschlagenen Übersetzungen sind korrekt, dennoch ist ein juristischer Hinweis angebracht (so sind Juristen eben):

"to execute" mit "unterzeichnen" zu übersetzen, ist häufig eine unzulässige Vereinfachung. "to execute" heisst allgemein "rechtsgültig ausfertigen".

Grundsätzlich ist es nämlich so, dass z.B. bei Urkunden neben die Unterzeichnung auch noch die delivery und - früher - das seal treten müssen, damit bestimmte Rechtsdokumente formgültig sind! (Deshalb die alte Formulierung "signed, sealed and delivered"). All das ist nämlich auch in "execution" enthalten.

Noch einschränkender ist die Übersetzung "Unterzeichnung", wenn eine Urkunde zwischen Firmen errichtet wird: diese können nämlich auch ohne Leistung einer Unterschrift, d.h. durch das Firmensiegel einen Vertrag "executen" (in GB z.B. entweder Unterschrift zweier directors/director u. secretary + delivery oder eben Firmensiegel + delivery). Es ist also durchaus möglich, eine Urkunde ohne Unterschrift zu errichten! Zwischen Privatpersonen ist es in der Tat die Unterzeichnung, aber auch hier umfasst der Begriff der "execution" nebst der Unterzeichnung idR noch die Übergabe (delivery).