I am pretty sure this is what it stands for:

"COS’E’ IL CENTRO UNICO DI PRENOTAZIONE REGIONALE (CUP)?
E' il sistema di accesso alla prenotazione di visite ed esami nelle strutture sanitarie del territorio regionale. Attraverso il Centro Unico di Prenotazione (Cup) gli utenti avranno la possibilità di prenotare, revocare o disdire le prestazioni sanitarie fornite dalle Aziende Ospedaliere e dalle Zone Territoriali della Regione Marche in regime pubblico e libero professionale."
http://www.asur.marche.it/viewdoc.asp?CO_ID=14562

Here it's simply called "Call Center":

"Centro Unico Prenotazioni - (CALL CENTER)
Il CUP ha un call center sanitario che nasce con l'obbiettivo di stabilire un rapporto più semplice e diretto fra i cittadini e la sanità."
http://www.aslbassano.it/index.php?p=centro-unico-prenotazio...

However, this seems too general a term; the reference to "prenotazioni" indicates that it is primarily the number you call to book an appointment.

In practice the equivalent might well appear simply as "Appointments". But perhaps "Central Appointments" might convey the idea of channelling all the calls through one call centre, a "centro unico" to coordinate the operation.

"Telephone Number: (907) 580-2778 (Central Appointments)"
http://allcustomercarenumbers.net/Customer-Service-Number-El...

Curiously, many of the US hospitals that have a "central appointments" number seem to be military. It's pretty common in NHS hospitals in the UK. Maybe there's a different term more widely used in the US. Anyway, that's what it refers to.