Short of inquiring online about the word, this seems to be a plausible explanation.

"Turno" judicial se traduce como "term". La "H." para mí representa "honorable", porque se usa, en infinidad de referencias que encontré en documentos mexicanos, como adjetivo, siempre se refieren al "H. Tercer Turno" - me parece que aquí no tiene que ver con horario, máxime en virtud de la referencia que figura abajo, que lamentablemente no pude copiar todo el párrafo porque el doc. .pdf está protegido y no permite la copia. Yo, en inglés, ni lo traduciría. Simplemente pondría "Third Term" o 3rd. Court of tal cosa y tal otra. Así lo hacemos con los juzgados en Uruguay, por ej. Juzgado Letrado de Familia de 2do. Turno, se puede traducir como 2nd. Family Court, o como Family Court of the 2nd. Term.

http://www.juridicas.unam.mx/publica/librev/rev/derhum/cont/...
"a fin de que presente, ***en horario de este H. Turno...."****